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非線性規划（第3版）（英文）

為了解決Lagrange multiplier的問題，作者（美）伯特瑟卡斯 這樣論述：

本書涵蓋非線性規劃的主要內容，包括無約束優化、凸優化、拉格朗日乘子理論和算法、對偶理論及方法等，包含了大量的實際應用案例.本書從無約束優化問題入手，通過直觀分析和嚴格證明給出了無約束優化問題的最優性條件，並討論了梯度法、牛頓法、共軛方向法等基本實用演算法.進而本書將無約束優化問題的最優性條件和演算法推廣到具有凸集約束的優化問題中，進一步討論了處理約束問題的可行方向法、條件梯度法、梯度投影法、雙度量投影法、近似演算法、流形次優化方法、座標塊下降法等.拉格朗日乘子理論和演算法是非線性規劃的核心內容之一，也是本書的重點. Dimitri P.Bertsekas，美國工程院院士，I

EEE會士。1971年獲MIT電子工程博士學位。長期在MIT執教，曾獲得2001年度美國控制協會J.Ragazzini教育 獎。其研究領域涉及優化、控制、大規模計算、資料通信網路等，許多研究具有開創性貢獻。著有Nonlinear Programming等十餘部教材和專著，其中許多被MIT等名校用作研究生或本科生教材。 Contents 1. Unconstrained Optimization: Basic Methods . . . . . . p. 1 1.1. OptimalityConditions . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . p. 5 1.1.1. Variational Ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5 1.1.2. MainOptimalityConditions . . . . . . . . . . . . . . . p. 15 1.2. GradientMethods –Convergence . . . . . . . . . . . . . . p. 28 1.2.1. DescentDirections and StepsizeRules . . . . . . . . . . p. 28 1.2.2. Converge

nceResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49 1.3. GradientMethods –Rate ofConvergence . . . . . . . . . . p. 67 1.3.1. The LocalAnalysisApproach . . . . . . . . . . . . . . p. 69 1.3.2. TheRole of theConditionNumber . . . . . . . . . . . . p. 70 1.3.3. ConvergenceRateResults . . . . . . . .

. . . . . . . . p. 82 1.4. Newton’sMethod andVariations . . . . . . . . . . . . . . p. 95 1.4.1. ModifiedCholeskyFactorization . . . . . . . . . . . . p. 101 1.4.2. TrustRegionMethods . . . . . . . . . . . . . . . . p. 103 1.4.3. Variants ofNewton’sMethod . . . . . . . . . . . . . p. 105 1.4.4. Leas

t Squares and theGauss-NewtonMethod . . . . . . p. 107 1.5. Notes and Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 117 2. Unconstrained Optimization: Additional Methods . . p. 119 2.1. ConjugateDirectionMethods . . . . . . . . . . . . . . . p. 120 2.1.1. TheConjugateGradientMethod . . . . . . .

. . . . . p. 125 2.1.2. ConvergenceRate ofConjugateGradientMethod . . . . p. 132 2.2. Quasi-NewtonMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 138 2.3. NonderivativeMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 148 2.3.1. CoordinateDescent . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 149 2.3.2. Direct Search

Methods . . . . . . . . . . . . . . . . p. 154 2.4. IncrementalMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 158 2.4.1. IncrementalGradientMethods . . . . . . . . . . . . . p. 161 2.4.2. IncrementalAggregatedGradientMethods . . . . . . . p. 172 2.4.3. IncrementalGauss-NewtonMethods . . . . . . . .

. . p. 178 2.4.3. IncrementalNewtonMethods . . . . . . . . . . . . . p. 185 2.5. DistributedAsynchronousAlgorithms . . . . . . . . . . . p. 194 v vi Contents 2.5.1. Totally andPartiallyAsynchronousAlgorithms . . . . . p. 197 2.5.2. TotallyAsynchronousConvergence . . . . . . . . . . . p. 198 2.5.3. P

artiallyAsynchronousGradient-LikeAlgorithms . . . . p. 203 2.5.4. ConvergenceRate ofAsynchronousAlgorithms . . . . . p. 204 2.6. Discrete-TimeOptimalControlProblems . . . . . . . . . p. 210 2.6.1. Gradient andConjugateGradientMethods for . . . . . . . . OptimalControl . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . p. 221 2.6.2. Newton’sMethod forOptimalControl . . . . . . . . . p. 222 2.7. SolvingNonlinearProgrammingProblems - Some . . . . . . . . PracticalGuidelines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 227 2.8. Notes and Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 232 3. Optimization Over a C

onvex Set . . . . . . . . . . p. 235 3.1. ConstrainedOptimizationProblems . . . . . . . . . . . . p. 236 3.1.1. Necessary and SufficientConditions forOptimality . . . . p. 236 3.1.2. Existence ofOptimal Solutions . . . . . . . . . . . . p. 246 3.2. FeasibleDirections -ConditionalGradientMethod . . .

. . p. 257 3.2.1. DescentDirections and StepsizeRules . . . . . . . . . p. 257 3.2.2. TheConditionalGradientMethod . . . . . . . . . . . p. 262 3.3. GradientProjectionMethods . . . . . . . . . . . . . . . p. 272 3.3.1. FeasibleDirections and StepsizeRulesBasedon . . . . . . . . Projection . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . p. 272 3.3.2. ConvergenceAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 283 3.4. Two-MetricProjectionMethods . . . . . . . . . . . . . p. 292 3.5. Manifold SuboptimizationMethods . . . . . . . . . . . . p. 298 3.6. ProximalAlgorithms . . . . . . . . . . . . . . . . .

. p. 307 3.6.1. Rate ofConvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 312 3.6.2. Variants of theProximalAlgorithm . . . . . . . . . . p. 318 3.7. BlockCoordinateDescentMethods . . . . . . . . . . . . p. 323 3.7.1. Variants ofCoordinateDescent . . . . . . . . . . . . p. 327 3.8. NetworkOptimization

Algorithms . . . . . . . . . . . . . p. 331 3.9. Notes and Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 338 4. LagrangeMultiplierTheory . . . . . . . . . . . . p. 343 4.1. NecessaryConditions forEqualityConstraints . . . . . . . p. 345 4.1.1. ThePenaltyApproach . . . . . . . . . . . . . . . . p.

349 4.1.2. TheEliminationApproach . . . . . . . . . . . . . . p. 352 4.1.3. The LagrangianFunction . . . . . . . . . . . . . . . p. 356 4.2. SufficientConditions and SensitivityAnalysis . . . . . . . . p. 364 4.2.1. TheAugmentedLagrangianApproach . . . . . . . . . p. 365 4.2.2. TheFeasibleDirection

Approach . . . . . . . . . . . . p. 369 4.2.3. Sensitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 370 4.3. InequalityConstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 376 4.3.1. Karush-Kuhn-Tucker Necessary Conditions . . . . . . . p. 378 Contents vii 4.3.2. SufficientConditions and Sensitivi

ty . . . . . . . . . . p. 383 4.3.3. Fritz JohnOptimalityConditions . . . . . . . . . . . p. 386 4.3.4. ConstraintQualifications andPseudonormality . . . . . p. 392 4.3.5. Abstract SetConstraints and theTangentCone . . . . . p. 399 4.3.6. Abstract SetConstraints,Equality, and Inequality . . . . . .

. Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 415 4.4. LinearConstraints andDuality . . . . . . . . . . . . . . p. 429 4.4.1. ConvexCostFunction andLinearConstraints . . . . . . p. 429 4.4.2. DualityTheory: ASimpleFormforLinear . . . . . . . . . . Constraints . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . p. 432 4.5. Notes and Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 441 5. Lagrange Multiplier Algorithms . . . . . . . . . . p. 445 5.1. Barrier and InteriorPointMethods . . . . . . . . . . . . p. 446 5.1.1. PathFollowingMethods forLinearProgramming . . . . p. 450 5.1.2. Primal-Du

alMethods forLinearProgramming . . . . . . p. 458 5.2. Penalty andAugmentedLagrangianMethods . . . . . . . . p. 469 5.2.1. TheQuadraticPenaltyFunctionMethod . . . . . . . . p. 471 5.2.2. MultiplierMethods –Main Ideas . . . . . . . . . . . . p. 479 5.2.3. ConvergenceAnalysis ofMultiplierMethods . . .

. . . . p. 488 5.2.4. Duality and SecondOrderMultiplierMethods . . . . . . p. 492 5.2.5. Nonquadratic Augmented Lagrangians - The Exponential . . . Method ofMultipliers . . . . . . . . . . . . . . . . p. 494 5.3. ExactPenalties – SequentialQuadraticProgramming . . . . p. 502 5.3.1. Nondifferentiabl

eExactPenaltyFunctions . . . . . . . p. 503 5.3.2. SequentialQuadraticProgramming . . . . . . . . . . p. 513 5.3.3. DifferentiableExactPenaltyFunctions . . . . . . . . . p. 520 5.4. LagrangianMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 527 5.4.1. First-OrderLagrangianMethods . . . . . . . . . . .

. p. 528 5.4.2. Newton-LikeMethods forEqualityConstraints . . . . . p. 535 5.4.3. GlobalConvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 545 5.4.4. AComparisonofVariousMethods . . . . . . . . . . . p. 548 5.5. Notes and Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 550 6. Duality andConvexProgra

mming . . . . . . . . . p. 553 6.1. Duality andDualProblems . . . . . . . . . . . . . . . p. 554 6.1.1. GeometricMultipliers . . . . . . . . . . . . . . . . p. 556 6.1.2. TheWeakDualityTheorem . . . . . . . . . . . . . . p. 561 6.1.3. Primal andDualOptimal Solutions . . . . . . . . . . p. 566 6.1.4.

Treatment ofEqualityConstraints . . . . . . . . . . . p. 568 6.1.5. SeparableProblems and theirGeometry . . . . . . . . p. 570 6.1.6. Additional IssuesAboutDuality . . . . . . . . . . . . p. 575 6.2. ConvexCost –LinearConstraints . . . . . . . . . . . . . p. 582 6.3. ConvexCost –ConvexConstraints .

. . . . . . . . . . . p. 589 viii Contents 6.4. ConjugateFunctions andFenchelDuality . . . . . . . . . p. 598 6.4.1. ConicProgramming . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 604 6.4.2. MonotropicProgramming . . . . . . . . . . . . . . . p. 612 6.4.3. NetworkOptimization . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 617 6.4.4. Games and theMinimaxTheorem . . . . . . . . . . . p. 620 6.4.5. ThePrimalFunction and SensitivityAnalysis . . . . . . p. 623 6.5. DiscreteOptimization andDuality . . . . . . . . . . . . p. 630 6.5.1. Examples ofDiscreteOptimizationProblems . . . . . . p. 631 6.5.2. Branch-and-Bound .

. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 639 6.5.3. LagrangianRelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . p. 648 6.6. Notes and Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 660 7. DualMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 663 7.1. Dual Derivatives and Subgradients . . . . . . . . . . . . p.

666 7.2. Dual Ascent Methods for Differentiable Dual Problems . . . p. 673 7.2.1. CoordinateAscent forQuadraticProgramming . . . . . p. 673 7.2.2. SeparableProblems andPrimalStrictConvexity . . . . . p. 675 7.2.3. Partitioning andDual StrictConcavity . . . . . . . . . p. 677 7.3. Proximal andAugment

edLagrangianMethods . . . . . . . p. 682 7.3.1. TheMethod ofMultipliers as aDual . . . . . . . . . . . . . ProximalAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 682 7.3.2. EntropyMinimization andExponential . . . . . . . . . . . Method ofMultipliers . . . . . . . . . . . . . . . . p. 686 7.3.3. Inc

rementalAugmentedLagrangianMethods . . . . . . p. 687 7.4. AlternatingDirectionMethods ofMultipliers . . . . . . . . p. 691 7.4.1. ADMMApplied to SeparableProblems . . . . . . . . . p. 699 7.4.2. ConnectionsBetweenAugmentedLagrangian- . . . . . . . . RelatedMethods . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . p. 703 7.5. Subgradient-Based Optimization Methods . . . . . . . . . p. 709 7.5.1. Subgradient Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 709 7.5.2. Approximate and Incremental Subgradient Methods . . . p. 714 7.5.3. Cutting PlaneMethods . . . . . . . . . . . . . . . . p. 717 7.5.4. Ascent and

ApproximateAscentMethods . . . . . . . . p. 724 7.6. DecompositionMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 735 7.6.1. LagrangianRelaxation of theCouplingConstraints . . . . p. 736 7.6.2. Decomposition byRight-Hand SideAllocation . . . . . . p. 739 7.7. Notes and Sources . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . p. 742 Appendix A: Mathematical Background . . . . . . . . p. 745 A.1. Vectors andMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 746 A.2. Norms, Sequences,Limits, andContinuity . . . . . . . . . p. 749 A.3. SquareMatrices andEigenvalues . . . . . . . . . . . . . p. 757 A.4. Symmetric a

ndPositiveDefiniteMatrices . . . . . . . . . p. 760 A.5. Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 765 Contents ix A.6. ConvergenceTheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 770 AppendixB:ConvexAnalysis . . . . . . . . . . . . p. 783 B.1. Convex Sets andFunctions . . . . . . . .

. . . . . . . p. 783 B.2. Hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 793 B.3. Cones andPolyhedralConvexity . . . . . . . . . . . . . p. 796 B.4. ExtremePoints andLinearProgramming . . . . . . . . . p. 798 B.5. Differentiability Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 803 Append

ix C: Line Search Methods . . . . . . . . . . p. 809 C.1. Cubic Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 809 C.2. Quadratic Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 810 C.3. TheGolden SectionMethod . . . . . . . . . . . . . . . p. 812 Appendix D: Implementation of Newton’s Me

thod . . . p. 815 D.1. CholeskyFactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 815 D.2. Application to aModifiedNewtonMethod . . . . . . . . . p. 817 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 821 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 857 Preface to the Third

Edition The third edition of the book is a thoroughly rewritten version of the 1999 second edition. New material was included, some of the old material was discarded, and a large portion of the remainder was reorganized or revised. The total number of pages has increased by about 10 percent. Aside

from incremental improvements, the changes aim to bring the book up-to-date with recent research progress, and in harmony with the major developments in convex optimization theory and algorithms that have occurred in the meantime.

Lagrange multiplier進入發燒排行的影片

變分法在影像去噪的應用

為了解決Lagrange multiplier的問題，作者林子溢 這樣論述：

對重要去噪變分模式-ROF 做綜合審視報告。

Panel-data迴歸模型：Stata在廣義時間序列的應用

為了解決Lagrange multiplier的問題，作者張紹勳 這樣論述：

　　●Panel-data迴歸是大量應用於經濟、統計、社會和醫學領域的熱門分析工具，研究者不可不學。 　　●本書內容結合「理論、方法、統計」，幫助您正確、精準處理Panel-data迴歸模型。 　　●完整剖析各項統計分析技巧，模型建立好簡單，迅速提升研究力！ 　　●圖解操作流程，跟著老師的指示，無痛學習STATA指令功能。 　　●本書範例結合光碟檔案學習，帶領讀者熟悉軟體及統計觀念，一步一步深入分析。 　　要真正了解現代經濟生活的數量關係，「統計學」、「經濟理論」與「數學」皆是不可或缺。「計量經濟學」便是整合了這三者，藉由統計工具將經濟理論付諸實際的實用學科。 　　其中，panal-d

ata迴歸模型包含樣本單位在某一時點上的多項特性，以及在一段時間內的連續觀察。這種結合橫斷面與時間數列的資料型態，不僅可應用於個體、總體經濟領域，更能延伸至社會科學、醫學及金融領域。 　　本書利用STATA統計軟體，幫助研究者正確、精準地使用panel-data迴歸模型。STATA功能龐大，眾多內建（外掛）指令，幾乎囊括SPSS、SAS、LISREL/HLM、jMulti、Gretl、AMOS、LIMDEP及Eviews的處理能力。在此則專注在STATA處理panel-data迴歸模型的各項統計概念及分析技巧。 　　本書各章皆有實際案例分析，配合光碟附檔與書中圖文指示練習，可讓學習者及研究

者快速熟悉STATA統計軟體的操作、強化統計分析的基本功。

The core elements of dividend payout: Evidence in Vietnam banks

為了解決Lagrange multiplier的問題，作者Phan Dang Ngoc Anh 這樣論述：

The thesis aims to examine some bank-specific elements influencing on dividend of Vietnam banking sector. Indeed, five independent variables applied in this thesis are firm size, nonperforming loan, debt, interest ratio, and financial profitability collected by banks dataset listed on Vietnam stock

exchange from 2010 to 2020. Furthermore, using the regression model and diagnostic tests, the results illustrate all of variables impacted on dividend ratio, except interest ratio. The most interesting thing is that separating the time and comparing before and after Covid19 pandemic comes, only the

bank’s size and financial profitability have a connection with dividend payout.