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計算器科學中的數學：信息與智能時代的必修課

為了解決轉移矩陣寫法的問題，作者（美）ERIC LEHMAN等 這樣論述：

本書原為麻省理工學院計算機科學與工程專業的數學課程講義，谷歌技術專家參與編寫，涵蓋計算機科學涉及的全部基礎數學知識，包括形式邏輯符號、數學證明、歸納、集合與關係、圖論基礎、排列與組合、計數原理、離散概率、遞歸等，特別強調數學定義、證明及其應用方法。 本書因具有系統、完整，以及有趣、易讀等明顯優勢，現已被全球IT技術相關從業者及準從業者奉為圭臬、廣泛傳閱，在人工智能日益普及的全新信息時代，更是大放異彩。 本書適合計算機相關專業學生及從業人員作為數學入門教材，亦可作為統計、機器學習、數據挖掘等課程的寶貴資料。 第I部分 數學證明 引言 3 0.1 參考文獻 4 第1章 什麼

是證明 5 1.1 命題 5 1.2 謂詞 8 1.3 公理化方法 8 1.4 我們的公理 9 1.4.1 邏輯推理 9 1.4.2 證明的模式 10 1.5 證明蘊涵 10 1.5.1 方法#1 11 1.5.2 方法#2：證明逆反命題 12 1.6 證明“當且僅當” 13 1.6.1 方法#1：證明兩個語句相互蘊涵 13 1.6.2 方法#2：構建iff鏈 13 1.7 案例證明法 14 1.8 反證法 15 1.9 數學證明的優秀實踐 16 1.10 參考文獻 18 1.1節習題 18 1.5節習題 21 1.7

節習題 21 1.8節習題 23 第2章 良序原理 26 2.1 良序證明 26 2.2 良序證明模板 27 2.2.1 整數求和 27 2.3 質因數分解 29 2.4 良序集合 29 2.4.1 不一樣的良序集合（選學） 30 2.2節習題 31 2.4節習題 38 第3章 邏輯公式 40 3.1 命題的命題 41 3.1.1 NOT，AND和OR 41 3.1.2 當且僅當 42 3.1.3 IMPLIES 42 3.2 計算機程序的命題邏輯 44 3.2.1 真值表計算 45 3.2.2 符號表示 46 3.3

等價性和有效性 47 3.3.1 蘊涵和逆否 47 3.3.2 永真性和可滿足性 48 3.4 命題代數 49 3.4.1 命題範式 49 3.4.2 等價性證明 50 3.5 SAT問題 53 3.6 謂詞公式 54 3.6.1 量詞 54 3.6.2 混合量詞 55 3.6.3 量詞的順序 56 3.6.4 變量與域 56 3.6.5 否定量詞 57 3.6.6 謂詞公式的永真性 57 3.7 參考文獻 58 3.1節習題 59 3.2節習題 61 3.3節習題 65 3.4節習題 68 3.5節習題 69

3.6節習題 71 第4章 數學數據類型 79 4.1 集合 79 4.1.1 常用集合 80 4.1.2 集合的比較和組合 80 4.1.3 冪集 81 4.1.4 集合構造器標記 82 4.1.5 證明集合相等 82 4.2 序列 83 4.3 函數 84 4.3.1 域和像 84 4.3.2 函數複合 86 4.4 二元關係 86 4.4.1 關係圖 87 4.4.2 關係的像 89 4.5 有限基數 90 4.5.1 有限集有多少個子集 91 4.1節習題 92 4.2節習題 96 4.4節習題 97 4.

5節習題 105 第5章 歸納法 107 5.1 一般歸納法 107 5.1.1 一般歸納法的規則 108 5.1.2 舉例說明 108 5.1.3 歸納法證明的模板 109 5.1.4 一般歸納法的簡潔寫法 110 5.1.5 更複雜的例子 111 5.1.6 錯誤的歸納證明 113 5.2 強歸納法 115 5.2.1 強歸納法的規則 115 5.2.2 斐波那契數列 116 5.2.3 質數的乘積 117 5.2.4 找零問題 118 5.2.5 堆盒子遊戲 119 5.3 強歸納法、一般歸納法和良序法的比較 120 5.1

節習題 121 5.2節習題 131 第6章 狀態機 136 6.1 狀態和轉移 136 6.2 不變性原理 137 6.2.1 沿對角線移動的機器人 137 6.2.2 不變性原理的定義 139 6.2.3 示例：《虎膽龍威》 141 6.3 偏序正確性和終止性 143 6.3.1 快速求冪 143 6.3.2 派生變量 145 6.3.3 基於良序集合的終止性（選學） 146 6.3.4 東南方向跳躍的機器人（選學） 146 6.4 穩定的婚姻 147 6.4.1 配對儀式 148 6.4.2 我們結婚吧 150 6.4.3

他們從此幸福地生活在一起 150 6.4.4 竟然是男性…… 151 6.4.5 應用 152 6.3節習題 153 6.4節習題 165 第7章 遞歸數據類型 172 7.1 遞歸定義和結構歸納法 172 7.1.1 結構歸納法 174 7.2 匹配帶括號的字符串 175 7.3 非負整數上的遞歸函數 179 7.3.1 N上的一些標準遞歸函數 179 7.3.2 不規範的函數定義 179 7.4 算術表達式 181 7.4.1 Aexp的替換和求值 181 7.5 計算機科學中的歸納 185 7.1節習題 185 7.2節習題

193 7.3節習題 201 7.4節習題 202 第8章 無限集 206 8.1 無限基數集 206 8.1.1 不同之處 209 8.1.2 可數集 209 8.1.3 冪集的勢嚴格大於原集合 211 8.1.4 對角線證明 213 8.2 停止問題 214 8.3 集合邏輯 217 8.3.1 羅素悖論 217 8.3.2 集合的ZFC公理系統 218 8.3.3 避免羅素悖論 220 8.4 這些真的有效嗎 220 8.4.1 計算機科學中的無窮大 221 8.1節習題 221 8.2節習題 228 8.3節習題

233 8.4節習題 236   第Ⅱ部分 結構 引言 241 第9章 數論 242 9.1 整除 242 9.1.1 整除的性質 243 9.1.2 不可整除問題 244 9.1.3 虎膽龍威 245 9.2 公約數 247 9.2.1 歐幾里得算法 247 9.2.2 粉碎機 249 9.2.3 水壺問題的通解 251 9.2.4 公約數的性質 252 9.3 質數的奧秘 253 9.4 算術基本定理 255 9.4.1 唯1分解定理的證明 256 9.5 阿蘭·圖靈 257 9.5.1 圖靈編碼（1.0版） 2

58 9.5.2 破解圖靈編碼（1.0版） 260 9.6 模運算 260 9.7 餘運算 262 9.7.1 環Z_n 264 9.8 圖靈編碼（2.0版） 265 9.9 倒數與約去 266 9.9.1 互質 267 9.9.2 約去 268 9.9.3 解密（2.0版） 268 9.9.4 破解圖靈編碼（2.0版） 269 9.9.5 圖靈後記 269 9.10 歐拉定理 271 9.10.1 計算歐拉?函數 273 9.11 RSA公鑰加密 274 9.12 SAT與RSA有什麼關係 276 9.13 參考文獻 277

9.1節習題 277 9.2節習題 278 9.3節習題 285 9.4節習題 285 9.6節習題 287 9.7節習題 288 9.8節習題 293 9.9節習題 293 9.10節習題 295 9.11節習題 303 第10章 有向圖和偏序 309 10.1 頂點的度 311 10.2 路和通路 311 10.2.1 查找通路 313 10.3 鄰接矩陣 314 10.3.1 短路徑 315 10.4 路關係 316 10.4.1 複合關係 316 10.5 有向無環圖＆調度 317 10.5.1 調度 318

10.5.2 並行任務調度 320 10.5.3 Dilworth引理 322 10.6 偏序 323 10.6.1 DAG中路關係的性質 323 10.6.2 嚴格偏序 324 10.6.3 弱偏序 325 10.7 用集合包含表示偏序 326 10.8 線性序 327 10.9 乘積序 327 10.10 等價關係 328 10.10.1 等價類 328 10.11 關係性質的總結 329 10.1節習題 330 10.2節習題 331 10.3節習題 334 10.4節習題 335 10.5節習題 338 10.6

節習題 344 10.7節習題 347 10.8節習題 349 10.9節習題 352 10.10節習題 354 第11章 通信網絡 357 11.1 路由 357 11.1.1 完全二叉樹 357 11.1.2 路由問題 358 11.2 路由的評價指標 358 11.2.1 網絡直徑 358 11.2.2 交換機的數量 359 11.2.3 網絡時延 359 11.2.4 擁塞 360 11.3 網絡設計 361 11.3.1 二維陣列 361 11.3.2 蝶形網絡 362 11.3.3 Benes ?網絡 363

11.2節習題 368 11.3節習題 368 第12章 簡單圖 373 12.1 頂點鄰接和度 373 12.2 美國異性伴侶統計 375 12.2.1 握手引理 376 12.3 一些常見的圖 377 12.4 同構 378 12.5 二分圖與匹配 380 12.5.1 二分匹配問題 380 12.5.2 匹配條件 381 12.6 著色 384 12.6.1 一個考試安排問題 384 12.6.2 一些著色邊界 386 12.6.3 為什麼著色 387 12.7 簡單路 388 12.7.1 簡單圖中的路、通路和圈 388

12.7.2 圈作為子圖 389 12.8 連通性 390 12.8.1 連通分量 390 12.8.2 奇數長度的圈和2-著色性 391 12.8.3 k–連通圖 392 12.8.4 連通圖的小邊數 393 12.9 森林和樹 394 12.9.1 葉子、父母和孩子 394 12.9.2 性質 395 12.9.3 生成樹 397 12.9.4 小生成樹 397 12.10 參考文獻 401 12.2節習題 402 12.4節習題 403 12.5節習題 406 12.6節習題 411 12.7節習題 418 .8節習

題 420 12.9節習題 424 第13章 平面圖 431 13.1 在平面上繪製圖形 431 13.2 平面圖的定義 433 13.2.1 面 434 13.2.2 平面嵌入的遞歸定義 436 13.2.3 這個定義行嗎 438 13.2.4 外表面在哪裡呢 438 13.3 歐拉公式 439 13.4 平面圖中邊的數量限制 440 13.5 返回到K_5和K_3,3 441 13.6 平面圖的著色 442 13.7 多面體的分類 443 13.8 平面圖的另一個特徵 445 13.2節習題 446 13.8節習題 447

  第Ⅲ部分 計數 引言 455 第14章 求和與漸近性 457 14.1 年金的值 458 14.1.1 錢未來的價值 458 14.1.2 擾動法 459 14.1.3 年金價值的閉型 460 14.1.4 無限長的等比數列 460 14.1.5 示例 461 14.1.6 等比數列求和的變化 462 14.2 冪和 463 14.3 估算求和式子 465 14.4 超出邊界 468 14.4.1 問題陳述 468 14.4.2 調和數 471 14.4.3 漸近等式 473 14.5 乘積 474 14.5.1 斯

特林公式 475 14.6 雙倍的麻煩 477 14.7 漸近符號 479 14.7.1 小o 479 14.7.2 大O 479 14.7.3 θ 481 14.7.4 漸近符號的誤區 482 14.7.5 Ω（選學） 484 14.1節習題 484 14.2節習題 486 14.3節習題 486 14.4節習題 488 14.7節習題 490 第15章 基數法則 499 15.1 通過其他計數來計算當前計數 499 15.1.1 雙射規則 499 15.2 序列計數 500 15.2.1 乘積法則 501 15.2.2

n-元素集合的子集 501 15.2.3 加和法則 502 15.2.4 密碼計數 502 15.3 廣義乘積法則 503 15.3.1 有缺陷的美元鈔票 504 15.3.2 一個像棋問題 505 15.3.3 排列 505 15.4 除法法則 506 15.4.1 另一個像棋問題 506 15.4.2 圓桌騎士 507 15.5 子集計數 508 15.5.1 子集法則 509 15.5.2 比特序列 510 15.6 重複序列 510 15.6.1 子集序列 510 15.6.2 Bookkeeper法則 511 15.6

.3 二項式定理 512 15.7 計數練習：撲克手牌 513 15.7.1 四條相同點數的手牌 514 15.7.2 葫蘆手牌 514 15.7.3 兩個對子的手牌 515 15.7.4 花色齊全的手牌 517 15.8 鴿子洞原理 517 15.8.1 頭上的頭髮 518 15.8.2 具有相同和的子集 519 15.8.3 魔術 521 15.8.4 秘密 521 15.8.5 真正的秘密 523 15.8.6 如果是4張牌呢 524 15.9 容斥原理 525 15.9.1 兩個集合的並集 525 15.9.2 三個集合的並集

525 15.9.3 42序列、04序列或60序列 526 15.9.4 n個集合的並集 527 15.9.5 計算歐拉函數 529 15.10 組合證明 530 15.10.1 帕斯卡三角恆等式 530 15.10.2 給出組合證明 531 15.10.3 有趣的組合證明 532 15.11 參考文獻 533 15.2節習題 534 15.4節習題 537 15.5節習題 538 15.6節習題 544 15.7節習題 548 15.8節習題 550 15.9節習題 554 15.10節習題 561 第16章 母函數 56

6 16.1 無窮級數 566 16.1.1 不收斂性 567 16.2 使用母函數計數 568 16.2.1 蘋果和香蕉 568 16.2.2 母函數的積 569 16.2.3 卷積法則 570 16.2.4 利用卷積法則數甜甜圈 570 16.2.5 卷積法則中的二項式定理 571 16.2.6 一個荒唐的計數問題 572 16.3 部分分式 573 16.3.1 帶有重根的部分分式 575 16.4 求解線性遞推 575 16.4.1 斐波那契數的母函數 575 16.4.2 漢諾塔 576 16.4.3 求解一般線性遞推 58

0 16.5 形式冪級數 580 16.5.1 發散母函數 580 16.5.2 冪級數環 581 16.6 參考文獻 583 16.1節習題 583 16.2節習題 583 16.3節習題 586 16.4節習題 588 16.5節習題 595   第Ⅳ部分 概率論 引言 599 第17章 事件和概率空間 601 17.1 做個交易吧 601 17.1.1 理清問題 601 17.2 四步法 602 17.2.1 步驟一：找到樣本空間 602 17.2.2 步驟二：確定目標事件 605 17.2.3 步驟三：確定結果

的概率 606 17.2.4 步驟四：計算事件的概率 608 17.2.5 蒙特霍爾問題的另一種解釋 609 17.3 奇怪的骰子 609 17.3.1 骰子A vs. 骰子B 610 17.3.2 骰子A vs. 骰子C 612 17.3.3 骰子B vs. 骰子C 612 17.3.4 擲兩次 613 17.4 生日原理 615 17.4.1 匹配概率的確切公式 615 17.5 集合論和概率 616 17.5.1 概率空間 616 17.5.2 集合論的概率法則 617 17.5.3 均勻概率空間 618 17.5.4 無窮概率空間

619 17.6 參考文獻 620 17.2節習題 620 17.5節習題 623 第18章 條件概率 626 18.1 蒙特霍爾困惑 626 18.1.1 帷幕之後 627 18.2 定義和標記 627 18.2.1 問題所在 628 18.3 條件概率四步法 629 18.4 為什麼樹狀圖有效 630 18.4.1 大小為k的子集的概率 631 18.4.2 醫學檢測 632 18.4.3 四步分析法 633 18.4.4 固有頻率 634 18.4.5 後驗概率 634 18.4.6 概率的哲學 635 18.5 全概

率定理 637 18.5.1 以單一事件為條件 637 18.6 辛普森悖論 638 18.7 獨立性 640 18.7.1 另一個公式 640 18.7.2 獨立性是一種假設 641 18.8 相互獨立性 641 18.8.1 DNA檢測 642 18.8.2 兩兩獨立 643 18.9 概率vs. 置信度 645 18.9.1 肺結核測試 645 18.9.2 可能性修正 646 18.9.3 很可能正確的事實 648 18.9.4 事件 648 18.9.5 下一次拋擲的置信度 649 18.4節習題 650 18.5節習題

650 18.6節習題 660 18.7節習題 661 18.8節習題 663 18.9節習題 666 第19章 隨機變量 667 19.1 隨機變量示例 667 19.1.1 指示器隨機變量 668 19.1.2 隨機變量和事件 668 19.2 獨立性 669 19.3 分佈函數 670 19.3.1 伯努利分佈 672 19.3.2 均勻分佈 672 19.3.3 數字遊戲 673 19.3.4 二項分佈 675 19.4 期望 677 19.4.1 均勻隨機變量的期望值 677 19.4.2 隨機變量的倒數的期望 6

78 19.4.3 指示器隨機變量的期望值 678 19.4.4 期望的另一種定義 678 19.4.5 條件期望 679 19.4.6 平均故障時間 680 19.4.7 賭博遊戲的預期收益 682 19.5 期望的線性性質 686 19.5.1 兩枚骰子的期望 687 19.5.2 指示器隨機變量的和 687 19.5.3 二項分佈的期望 688 19.5.4 贈券收集問題 689 19.5.5 無限和 691 19.5.6 賭博悖論 691 19.5.7 悖論的解答 692 19.5.8 乘積的期望 693 19.2節習題 69

4 19.3節習題 696 19.4節習題 698 19.5節習題 702 第20章 離差 712 20.1 馬爾可夫定理 712 20.1.1 應用馬爾可夫定理 714 20.1.2 有界變量的馬爾可夫定理 714 20.2 切比雪夫定理 715 20.2.1 兩個賭博遊戲的方差 716 20.2.2 標準差 717 20.3 方差的性質 718 20.3.1 方差公式 719 20.3.2 故障時間的方差 719 20.3.3 常數的處理 720 20.3.4 和的方差 721 20.3.5 生日匹配 722 20.4 隨

機抽樣估計 723 20.4.1 選民投票 723 20.4.2 兩兩獨立採樣 725 20.5 估計的置信度 726 20.6 隨機變量的和 728 20.6.1 引例 728 20.6.2 切諾夫界 729 20.6.3 二項式尾的切諾夫界 729 20.6.4 遊戲的切諾夫界 730 20.6.5 隨機負載均衡 731 20.6.6 切諾夫界的證明 732 20.6.7 邊界的比較 734 20.6.8 墨菲定律 735 20.7 大期望 736 20.7.1 重複你自己 736 20.1節習題 737 20.2節習題 73

8 20.3節習題 739 20.5節習題 746 20.6節習題 750 20.7節習題 753   第21章 隨機遊走 755 21.1 賭徒破產 755 21.1.1 避免破產的概率 757 21.1.2 獲勝概率遞推 758 21.1.3 有偏情形的簡單解釋 759 21.1.4 步長多長 761 21.1.5 贏了就退出 762 21.2 圖的隨機遊走 763 21.2.1 網頁排名初探 764 21.2.2 網頁圖的隨機遊走 765 21.2.3 平穩分佈與網頁排名 766 21.1節習題 768 21.2節習

題 769   第Ⅴ部分 遞推 引言 779 第22章 遞推 780 22.1 漢諾塔 780 22.1.1 上界陷阱 781 22.1.2 擴充-化簡法 781 22.2 歸併排序 783 22.2.1 尋找遞推 784 22.2.2 求解遞推 784 22.3 線性遞推 786 22.3.1 爬樓梯 786 22.3.2 求解齊次線性遞推 789 22.3.3 求解一般線性遞推 790 22.3.4 如何猜測特解 792 22.4 分治遞推 793 22.4.1 Akra-Bazzi公式 794 22.4.2 兩個技術

問題 795 22.4.3 Akra-Bazzi定理 796 22.4.4 主定理 797 22.5 進一步探索 797 22.4節習題 799 參考文獻 802 符號表 806

圖解難題解決力

為了解決轉移矩陣寫法的問題，作者高橋誠 這樣論述：

　　面對客戶層出不窮的要求，進度趕不上變化的雜事公務，一次學會最有效的解決方法！ 　　從發想、運用、解答，馬上搞定讓你最頭大的問題！ 　　一本以圖解法告訴你如何解決問題的書！ 　　發散技法在發想時使用 　　整理資料時活用收斂技法 　　卡片BS法便於事後整理 　　卡片BW法能快速整合資訊 　　缺點．期望點列舉法是發現解決方法的第一? 　　特性列舉法是將特性分類後的發想法 　　檢查表法是從各個角度強制發想的技法 　　矩陣圖法是限定發想範圍的技法 　　統合分析法是即時處理大量資料的技法 　　交叉分析法是同時進行收斂與評價的技法 　　故事法最適合用於文章與演講的整理 　　作業設計法是實現理想的技法

　　數十種的創造性技法解說，讓你能多方運用最簡單的方法，解決最棘手的問題！ 作者簡介 高橋誠 　　創造開發研究所所長、日本教育大學院大學研究科長．教授、日本創造學會董事長、教育學博士。生於日本靜岡縣靜岡市(舊名清水市)，畢業於東京教育大學心理系，修畢筑波大學的碩士課程與東洋大學的博士課程，為日本的創造性開發研究與實踐的第一人。 　　自從於日本電通公司及日本電視台(NTV)開辦創造性研習課程後，展開包含企業策略、商品開發、販售企劃．命名等多種企劃開發工作。 　　此外，亦於松下電器、NEC、日本生命保險公司、麒麟啤酒、豐田汽車公司、日產汽車公司、日本航空、普利司通公司等著名企業，進行人事制度、採

用．能力開發等諮詢與教育訓練。並對人事院、國土交通省、神奈川縣政府、中小企業大學等行政機構，以及東洋大學、文教大學、東京工科大學等多所大學提供指導與教育工作，教學易懂且著重實踐性，因而深受肯定。 　　主要著作為『問題解決手法的知識』、『會議進行的方法』、『培養企劃力』、『發想的瞬間』、『趣味理解企劃書寫法』、『趣味產生點子』、『事業成功者的問題解決術』等書。編著有『新編 創造力事典』、『共立夫婦』、『創造開發技法手冊』、『教育研修技法手冊』、『新商品開發技法手冊』、『市場行銷技法手冊』、『降低成本技法手冊』、『行銷轉移八法則』等書。 　　共同著作有『使商品復活的行銷系統』、『”企劃簡報”的報告

書』、『寬頻生活讀本』等多達六十本以上。在中國、台灣、韓國共有15本被翻譯出版。